数学で見る不可能の可能性：体積は満たせても表面は塗れない図形たち

私たちは一般的に「大きいものほど多くの空間を占める」と考えますが、数学の世界ではこのような直感が通用しない場合があります。ガブリエルのラッパ（Gabriel’s Horn）はその典型的な例で、無限に伸びながらも体積は有限、しかし表面積は無限です。今回は、このような直感に反する図形と、それが示す数学的・哲学的意味について探っていきます。

 

 

1. ガブリエルのラッパ：有限の体積 vs 無限の表面積

関数 y = 1/x（x ≥ 1）をx軸のまわりに回転させて得られる立体がガブリエルのラッパです。この図形の体積は π に収束し有限ですが、表面積は無限大になります。つまり、「中に塗料を注いで満たすことはできるが、外側全体を塗ることはできない」という逆説的な性質を持ちます。

 

 

2. 数学的には成立するが、物理的には存在しない

このような図形は数学的には極限や無限級数を用いて厳密に定義されますが、現実世界では存在できません。無限の表面を完全に塗る道具も材料も存在しないからです。つまり、数学は現実とは切り離された「論理的な可能性の世界」を構築できるのです。

 

 

3. 類似する図形たち

• コッホ曲線（Koch Curve）：長さは無限だが面積は有限なフラクタル。
• シェルピンスキーの三角形：面積はゼロに近づくが、境界線は無限に続く。
• ペアノ曲線：一本の線が平面全体を埋め尽くす連続曲線。

これらの図形はすべて自己相似性やフラクタル構造を持ち、無限の性質を視覚的に表現する代表的な形です。

 

 

4. 数学と哲学、そして「可能性の言語」

ガブリエルのラッパは、ただの奇妙な図形ではありません。「到達できない境界」という概念は、哲学的な問いや現実の認識にも通じています。このような構造は、CG、物理学、データ可視化など、さまざまな分野にもインスピレーションを与えています。

数学は物理的な制限に縛られず、可能性を表現する言語です。こうした図形を通じて、私たちは「見える世界」から「想像できる世界」へと視野を広げることができます。